设数列｛an}满足：a1=1,a2=2,an+2=3an+1-2an(n=1,2,3,...)[1]求数列nan的前n项和sn

讲一下思路
将an+2=3an+1-2an变形得到an+2-an+1=2(an+1-an)
设bn=an+1-an
bn+1=2bn
求出bn
然后用累加法求出an
……
最后求出sn

解：a(n+2)=3a(n+1)-2an
所以 a(n+2)-a(n+1)==2(a(n+1)-an)
设bn=a(n+1)-an
则b1=a2-a1=1
所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列
bn=2^(n-1)
所以a(n+1)-an=2^(n-1)
所以an-a(n-1)=2^(n-2)
a(n-1)-a(n-2)=2^(n-3)
.
.
.
a2-a1=1

将上列式子左右分别相加得到
an-a1=2^(n-2)+2^(n-3)+2^(n-4)+...+2^0(等式右边即等比数列的和)
可得an-1=2^(n-1)-1
an=2^(n-1)

Sn=1*a1+2*a2+3*a3+...+n*an=1*1+2*2+3*2^2+4*2^3+...+n*2^(n-1)
2Sn=1*2+2*2^2+3*2^3+4*2^4+...+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n
用错位相减
上式减下式得到
-Sn=1+(2+2^2+2^3+2^4+...+2^(n-1))-n*2^n
-Sn=(1-n)*2^n-1
所以Sn=(n-1)*2^n+1